Consideriamo ora il secondo esempio: Il pendolo invertito.

In questo caso vogliamo portare e mantenere in equilibrio un pendolo invertito, ovvero ruotato di 180°. Nel simulatore iPendulum® la possibile orientazione, o errore, iniziale del pendolo varia da 90° a +90°, dove 0° sta per errore nullo, ovvero pendolo in equilibrio. Oltre a questo, come variabili di input abbiamo anche la coppia massima del motore che porta in equilibrio il pendolo e la lunghezza dell'asta. Una volta inseriti i valori, ci basta premere il pulsante "Simula" per far partire la simulazione che provvederà , basandosi su regole fuzzy, a portare, se possibile, il pendolo nello stato di equilibrio; facciamo notare che è stato usato il termine "se possibile", perchè se viene fornita in input una coppia massima troppo piccola rispetto alla lunghezza dell'asta e all'errore iniziale, il motore non riesce a portare il pendolo in equilibrio, e questo può ricadere a terra, o fermarsi ad un certo angolo, senza muoversi ne' su ne' giù. Il tasto "Step" consente il controllo della simulazione passo-passo, mentre "Soluzione" consente di configurare in modo ottimale la matrice delle regole per portare a termine il problema. E' possibile, inoltre, modificare la tabella delle regole su cui si basa il movimento del pendolo. A questo proposito è necessario soffermarsi brevemente sul come è stata realizzata la suddetta matrice, e come viene utilizzata dal simulatore.

Nello sviluppo delle regole Fuzzy, viene valutato l'angolo d'errore e la velocità  angolare con cui esso si sta muovendo; le regole sono quindi del tipo:

"Se l'angolo è piccolo e negativo e la velocità è piccola e positiva, allora applica una coppia pari a zero"
ovvero:
IF a is NP AND v is PP THEN f is ZE

Dove:
a è l'errore del pendolo
v è la velocità  angolare del pendolo
f è la coppia del motore

Qui di seguito riportiamo la matrice delle regole e i fuzzy sets sui quali sono basate:

Il sistema di controllo del simulatore iPendulum® può essere schematizzato nel seguente modo:

Il blocco "Modello Pendolo Invertito" contiene le proprietà  fisiche del pendolo in questione, e ne simula il movimento, tenendo in considerazione tutte le forze agenti su di esso (forza di gravità  e coppia del motore). Il Campionatore effettua la lettura dell'angolo d'errore del pendolo a determinati istanti di tempo (più precisamente ogni 0,1s). Il controllore applica al pendolo una coppia in grado di riportare il pendolo in equilibrio (azzerare l'errore).

Il controllore fuzzy si basa su tre stadi:

1. Fuzzificazione
2. Controllo
3. Defuzzificazione

Fuzzificazione

La fuzzificazione consiste nella conversione dei valori di input (che nel nostro caso sono angolo e velocità  angolare) in valori linguistici con un grado di membership che può essere dato come nel nostro caso da funzioni triangolari; per ogni variabile abbiamo definito cinque sets (vedi figura).

Controllo

Per ogni regola "if then" definita viene computato il grado di applicabilità  della stessa dato dal minimo tra i due valori di membership delle variabili.

Defuzzificazione

La defuzzificazione consiste nella riconversione di valori linguistici di output in valori crisp; quetso viene effettuato tramite la regola del controide che, nel nostro caso, è facilmente schematizzabile nel seguente modo:

Dove zi è il grado di applicabilità  della regola e fi è il valore centrale della funzione di mebership.

Il calcolo delle variabili di controllo viene effettuato, ad ogni iterazione, seguendo il seguente schema: